lirik lagu dorfuchs – geometrische reihe
[songtext zu „geometrische reihe“]
[strophe 1]
nimm dir mal eins plus ein halb plus ein viertel plus ein achtel
plus ein sechszehntel. man merkt, wenn man das immer weiter macht schnell
d-ss das niemals endet und genau das ist das dumme:
woher weiß ich denn, was rauskommt bei ‘ner unendlichen summe?
nun, vielleicht hilft es, wenn wir das visualisieren
und da könnte man es ja mit einem kuchen probieren
nimmt man einen und ‘nen halben und ein viertel und ein achtel
dann sieht man, wenn man das macht, schnell:
man erreicht zwar nie die 2, doch kommt immer näher ran
weshalb man sich die 2 einfach als grenzwert nehmen kann
und man sagt dann, diese reihe konvergiert gegen 2
und deshalb ist die unendliche summe genau 2
und schau mal: die summanden sind potenzen von ein halb
nimmt man sich einfach mal ein x statt ein halb
dann sieht man, d-ss x hoch i die summanden darstellt
wobei die summe i von 0 bis unendlich hochzählt
und das ding nennt man jetzt die geometrische reihe
und p-ss mal auf, was ich dir jetzt zeige
denn jetzt geht es darum, ob diese reihe konvergiert
und es gilt garantiert:
[refrain]
die geometrische reihe konvergiert
gegen 1 durch 1 minus x
zumindest, wenn der betrag von x kleiner als 1 ist
ansonsten konvergiert da nichts
die geometrische reihe konvergiert
gegen 1 durch 1 minus x
zumindest, wenn der betrag von x kleiner als 1 ist
ansonsten konvergiert da nichts
[strophe 2]
bevor wie sehen, wogegen die summe mit unendlich konvergiert
schauen wir, was p-ssiert, wenn man nur bis n addiert
und diese summe dann mit 1 minus x multipliziert
denn, wenn man insgesamt jetzt ausmultipliziert
steht da einmal das ding minus x-mal das ding
und jetzt schauen wir hier hinten mal genauer hin
hier steht x mit exponenten von 0 an bis n
wobei ich durch den vorfaktor x ja erkenn:
der exponent erhöht sich hier um 1 jedesmal
schreibt man sich das mit i einfach von 1 an wird klar
d-ss man hier ja fast die gleiche summe wieder subtrahiert
sod-ss man alles bis auf das hier verliert
und jetzt dividiert man mit 1 minus x
und ab hier geht es relativ fix
denn für betrag von x kleiner als 1 steht hier ne nullfolge
und es gilt demzufolge:
[refrain]
die geometrische reihe konvergiert
gegen 1 durch 1 minus x
zumindest, wenn der betrag von x kleiner als 1 ist
ansonsten konvergiert da nichts
die geometrische reihe konvergiert
gegen 1 durch 1 minus x
zumindest, wenn der betrag von x kleiner als 1 ist
ansonsten konvergiert da nichts
[outro]
ist der betrag von x größer gleich 1
dann siehst du für die folge x hoch i sicher ein
d-ss die für i gegen unendlich nicht gegen 0 konvergiert
weshalb dann nämlich diese reihe hier nicht konvergiert
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